Hierauf emulgirte ich Oel in dieser Eiweislösung, und fand nun für die so erhaltene Emulsion. Specifisches Gewicht (dieselbe als Ganzes betrachtet): 1,005 04. Wir sehen also, das durch die suspendirten festen Theilchen (Oeltröpfchen mit Haptogenmembranen), die Reibung vergrössert wurde. Endlich untersuchte ich noch einige für den Physiologen 630 wichtige Substanzen. Ich will mich begnügen diese Untersuchungen einfach anzuführen. 631 Die gefundenen Constanten sind nur für mein kugelförmiges Gefäss, für Wandungen von Gold und mittlere Sommertemperatur gültig. B. Theoretischer Theil. Von H. Helmholtz. § 1. Die Bewegung im Innern einer schwingenden Kugel. Die Bewegungsgleichungen für das Innere einer tropfbar flüssigen Masse, welche der Reibung unterworfen ist, wie sie von Poisson, Navier und Stokes gleichlautend aufgestellt worden sind, sind folgende: Es seien x, y, z die rechtwinkeligen Coordinaten eines Punktes im Innern der bewegten Wassermasse, t die Zeit, u, v, w die den Coordinataxen parallelen Componenten der Geschwindigkeit des im Punkte x, y, z zur Zeit t befindlichen. Wassers, p der Druck und h die constante Dichtigkeit, ferner dP/dx, dP/dy und dP/dz die den drei Coordinataxen parallelen Componenten der äusseren Kräfte, welche auf das Innere der Wassermasse wirken, wobei u, v, w, p und P als Functionen der unabhängigen Variablen x, y, z und t dargestellt sein, so ist: Die Grösse 2 ist die Reibungsconstante für das Innere der Flüssigkeit, ihr Werth also nach der Natur der Flüssigkeit und ihrer Temperatur verschieden. In unserem Falle der schwingenden Kugel können wir nun die Schwingungen so klein machen, dass die Glieder, welche die zweiten Dimensionen der Geschwindigkeit enthalten, gegen die erste Dimension verschwinden. Von äusseren Kräften wirkt auf das Innere unserer Wassermasse nur die Schwere, deren Richtung der z-Axe parallel sein mag, im Sinne der negativen z, so dass wir setzen: Die Gleichungen (1) erhalten nun folgende vereinfachte Form: 632 Es sei o die Entfernung vom Anfangspunkt der Coordinaten, also: p2 = x2 + y2 + 22 und eine Function von und t, welche der Differentialgleichung genügt: Dann lässt sich zeigen, dass nach Elimination von p aus den Gleichungen (1b), die hieraus resultirenden Gleichungen und (1a) erfüllt werden durch folgende particuläre Integralgleichungen: Die Form der Bewegung, welche diesen Integralgleichungen entspricht, ist so zu beschreiben, wie sich aus den Gleichungen (2a) leicht ergiebt, dass die Wassermasse in concentrische Kugelschalen zerfällt, deren jede gleichsam wie eine feste Kugelschale drehende Bewegungen um die Z-Axe ausführt; ist die Winkelgeschwindigkeit dieser Bewegung. 633 dz Daraus ergiebt sich, dass die Gleichung (1a) durch die Annahmen (2a) erfüllt ist. Aus den Gleichungen (1b) eliminiren wir p, indem wir die erste nach y, die zweite nach a differentiiren, und die zweite von der ersten abziehen. Das giebt: und ebenso eliminiren wir p aus der ersten und dritten der Gleichungen (1b), wobei wir aber gleich bemerken wollen, dass w in (2a) gleich Null gesetzt ist, also erhalten wir: Setzt man nun die Werthe von u und v aus (2a) in (2b), so erhält man zunächst, wenn man zur Abkürzung setzt: Die Gleichungen (2c) geben aber beide gemeinsam die von o abhängt und dy/dz = (z/o). (dy/do) ist, folgt, indem man den Factor z/g weglässt: Mit Berücksichtigung von (2f) aber verwandelt sich die Gleichung (2e) in die Gleichung (2), nämlich: und wenn diese erfüllt ist, ist wie man sieht, auch (2f) erfüllt, so dass also in der That die Gleichungen (2) und (2a) sich als Integralgleichungen der Gleichungen (1a) und (1b) erweisen. Setzen wir = eat, wobei wir unter eine Function. von allein verstehen, die von t unabhängig ist, so liefert die Gleichung (2) für folgende Differentialgleichung: Die Gleichung (3) können wir durch zwei Reihen, die nach ganzen Potenzen von o fortschreiten, nach den gewöhnlichen Regeln integriren: agi. 1 1 21 2 (αρ k2 + etc. k2 (−1) (+ 1). 2.4 k2 (-1) 1.3.2.4.6 Diese Reihen sind bequem, wenn op für kleine Werthe der Grösse ag2/k2 berechnet werden soll, für grössere Werthe derselben ist es vortheilhafter in folgender geschlossener Form auszudrücken. Man setze nämlich: |
