so ist die Differentialgleichung (3) durch (3b) erfüllt, und sie wird auch erfüllt durch einen Ausdruck von der Form:

In unserem Falle der schwingenden Hohlkugel darf die Bewegung für 90 nicht discontinuirlich werden. Dadurch bestimmt sich das Verhältniss der Constanten A und B zu einander in den beiden Ausdrücken für in (3a) und (3c). In (3a) wird nämlich die mit B, multiplicirte Reihe für = 0 unendlich, also muss B = 0 sein, und der Ausdruck reducirt sich dann auf die erste Reihe. In (3c) müssen wir B + A setzen, wie man sieht, wenn man nach Potenzen von o zu entwickeln anfängt, und wir haben also schliesslich für unseren Zweck folgende beiden einander gleichen Ausdrücke für q:

=

(3d)

wir müssen also der Grösse a in den bisherigen Ausdrücken

wobei zu bemerken ist, dass der Winkel 2 ɛ, weil seine Tangente negativ ist, grösser als ein Rechter sein muss.

liegt also zwischen 45° und 90o.

Daraus folgt weiter:

Der Winkel &

und führen die in (4a), (4b), (4c) angezeigten Substitutionen in den Werth von ein, so wird:

ist eine complexe Grösse; ihr reeller, wie ihr imaginärer Theil für sich genommen, müssen der Differentialgleichung (2) genügen. Wir brauchen für unseren Zweck nur einen von beiden hier anzuwenden, und wollen den reellen nehmen. So wird endlich:

-

A

[ere- ßt cos (op + yt + ε) + e−re—ßr cos (σ Q — yt — ε)] 637

|

; [exe−ßt cos (σg + yt) − e−re-ft cos (ap —yt)]} (4d).

Day die Winkelgeschwindigkeit der schwingenden Wassertheilchen bezeichnet, so wird ihre Tangentialgeschwindigkeit yo. sin ∞ sein, unter o den Winkel zwischen und der Rotationsaxe verstanden. Die Glieder, welche cos (og + y) enthalten,

entsprechen einem Zuge von Wellen, welche von der Peripherie der Kugel gegen ihren Mittelpunkt laufen, und zwar mit schnell abnehmender Intensität, weil sie mit ete multiplicirt sind. Uebrigens führen dabei die Wassertheilchen Schwingungen aus, die gegen ihre Fortpflanzungsrichtung transversal sind, wie die Lichtschwingungen. Die Glieder, welche cos (op-yt) enthalten, entsprechen dagegen Wellen, welche vom Mittelpunkte gegen die Peripherie laufen, auch mit abnehmender Intensität, weil sie mit ere multiplicirt sind. Im Mittelpunkte selbst, werden zwar diese Glieder scheinbar unendlich gross, weil sie mit negativen Potenzen von o multiplicirt sind, in Wahrheit aber heben sich die unendlich werdenden Glieder hier gegenseitig auf, wie man sieht, wenn man sich die andere Form von in (3d), wo es nach ganzen Potenzen von o entwickelt ist, in derselben Weise zurecht macht:

638

Da wir vorausgesetzt haben, dass keine Kräfte ausser der Schwere auf das Innere der Wassermasse wirken, und in ihrem Innern alle Werthe der Geschwindigkeit endlich und continuirlich ausfallen, so können die Kräfte, welche sie in Bewegung setzen, nur auf die äusserste Schicht wirken. Diese ist bei unseren Versuchen in der That mit dem Gefässe in Berührung, und wird von diesem durch Reibung bewegt. Wir können uns also die ganze Bewegung so vorstellen, dass von dieser Oberfläche aus Rotationswellen nach innen laufen, aber mit schnell abnehmender Intensität, und im Mittelpunkte reflectirt wieder zurückkehren. Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit dieser Wellen ist gleich / 21m cose, oder wenn wir die Schwingungen der Oberfläche constante Amplitude behalten lassen, also B=0 setzen, und T=2π/y27/m die Schwingungsdauer

Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit ist also von der Schwingungsdauer abhängig. Die Wellenlänge ist 2kуT, also nicht

535

wie bei den Schall- und Lichtwellen der Schwingungsdauer selbst, sondern ihrer Quadratwurzel proportional. Während die Welle eine Wellenlänge durchläuft, wird ihre Amplitude von 1 auf e ̄”, d. h. von 1 auf verkleinert. Beispielsweise beträgt sie in den Versuchen von Piotrowski mit Wasser etwa 16 mm bei einer Schwingungsdauer von 23 Secunden. Daraus geht hervor, wie schnell sich die Bewegung in kleiner Entfernung von der Oberfläche bis zum Verschwinden schwächt. Je grösser dagegen der Reibungscoëfficient ist, desto grösser ist die Wellenlänge, und auf desto grössere Strecken pflanzt sich daher auch die Bewegung in der Flüssigkeit merklich fort.

§ 2. Bedingungen für die Oberfläche der Flüssigkeit.

Aus den theoretischen Betrachtungen der genannten Mathematiker folgt, dass die Componenten X, Y, Z der Kraft, mit welcher die bewegte Flüssigkeit auf eine oberflächliche Schicht wirkt, wenn a, B, 7 die Winkel sind, welche die nach der 639 Flüssigkeit hin gerichtete Normale der Oberfläche mit den positiven Coordinataxen bildet, folgende Werthe für die Einheit der Fläche haben:

du

dw dz dx

X=hk2 [2d" cosa + (y + 2) cos 8+ (1+r) cosy]

Y

du dx

du dy

dv
dx

(dw du

dx

+ cos a +
dz

+ cos +2

dz

An der Kugeloberfläche ist:

-x

cos a = cos ẞ==", cos y ==;

B

daraus ergiebt sich, wenn man die Werthe von u, v, w aus

640

Diese Kraft wirkt also in Richtung der Rotationsbewegung der Oberfläche mit der Intensität:

√x2+ Y2 = - hk2 dy √x2 + y2.

do

Dieser Kraft, welche das bewegte Wasser auf seine äusserste Schicht ausübt, muss nun das Gleichgewicht gehalten werden durch die Kraft, welche die Gefässwand auf die äusserste Wasserschicht ausübt. Wenn wir die Componenten der Geschwindigkeit der Gefässwand mit U, V, W bezeichnen, so ist der theoretische Ausdruck für die Componenten der Kraft, welche von der Wand auf die äusserste Wasserschicht ausgeübt werden, und die mit - X, Y bezeichnet werden können, da sie den Kräften der Gleichungen (5) und (5a) das Gleichgewicht halten müssen:

worin eine von der Natur der Flüssigkeit und des Gefässes abhängige Constante bezeichnet.

Setzen wir die Rotationsgeschwindigkeit des Gefässes in unserem Falle gleich 4, und demgemäss:

als Grenzbedingung für die Oberfläche der Flüssigkeit. Diese Gleichung bezeichnet zugleich den Sinn der Constante 2. Sie ist eine Länge, welche angiebt, in welcher Entfernung jenseits der Wand die Bewegung des Wassers der der Wand gleich