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Vertheilung der Ströme. 519

Andere Abweichungen finden sich bei der Vergleichung 377 der Stromeswirkungen von verschieden langen und dicken Muskeln. Die Kraft der elektromotorischen Oberfläche hängt ihrer Grösse nach nicht ab von der Zahl der vereinigten Elementarabtheilungen; der Theorie nach muss sie deshalb an grossen und kleinen Muskeln immer dieselbe sein. Beim Versuche hat du Bois-Reymond dagegen an längeren und an dickeren Muskeln eine grössere elektromotorische Kraft gefunden, was wahrscheinlich durch dieselben Umstände bedingt sein wird, welche die schwachen Ströme des Längsschnittes für sich, und des Querschnittes für sich hervorbringen.

XXVIII.

Ueber eine allgemeine Transformationsmethode der Probleme über elektrische Vertheilung.

Verhandlungen des naturhistorisch-medicinischen Vereins zu Heidelberg. Bd. II. S. 185—188 vom 8. Deeember 1861 und S. 217 vom 30. Mai 1862.

Bei den Untersuchungen, welche sich auf die Vertheilung der Elektricität, elektrischen Ströme, Wärmeströmung, 'des 188 Magnetismus u. s. w. in und auf Kugeln beziehen, spielt eine besondere Beziehung je zweier Punkte zur Kugelfläche eine besondere Rolle. Man denke sich den Mittelpunkt einer Kugel vom Radius R im Mittelpunkte der Coordinaten gelegen, r, y, z seien diejenigen für einen beliebigen Punkt des Raumes, r = Yx* + y1 + z1 dessen Entfernung vom Mittelpunkte. Man bestimme einen zweiten Punkt £, v, £ so, dass er mit dem Punkte x, y, z und dem Kugelmittelpunkte in einer geraden Linie liege, und dass sei:

also:

! = *7y>f=y;x, ?=2;x} (1)

Dann sind bekanntlich die Entfernungen irgend eines beliebigen Punktes auf der Kugelfläche von den beiden Punkten x, y z und |, v, L im constanten Verhältnisse wie R: Q oder wie r: R, und wenn im Punkte x, y, z die elektrische Masse M sich befindet, und auf der Kugel eine solche Vertheilung der Elektricität eintritt, dass längs der ganzen Oberfläche ihr Potential gleich dem der Masse M wird, so wirkt die elektrische Vertheilung auf der Kugelschale nach dem inneren und äusseren Raume hin so, als wäre alle Elektricität einmal im Punkter, y, z, das andere Mal im Punkte §, v, S concentrirt. Man hat deshalb auch den einen dieser Punkte als das elektrische Abbild des anderen in Bezug auf die Kugelschale bezeichnet. Diese Beziehung beider Punkte erlaubt aber noch eine weitere Verallgemeinerung. Es sei F, y, - eine beliebige Function der Coordinaten r, y, z, man setze in dieser Function statt jedes Punktes sein elektrisches Abbild, sodass man eine neue Function (Ps, „t von §, v und S gewinne, und: F, v, - = (Ps, v,

sei, so oft die Gleichungen (1) erfüllt sind, so zeigt sich, dass:

Rosd* F . d* F . d* F d* (R d? / R d? / R. Ä++Ä– ( )+( )+( )

So weit also die Function F die linke Seite dieser Gleichung gleich Null macht, soweit thut es für die entsprechenden Punkte S, v, L auch die Function (R/g) (P. Jedem Theile des Raumes aber, wo es durch die Function F nicht geschieht, entspricht ein anderer Theil des Raumes, wo es durch die Function (R/g) (P nicht geschieht. Ist also F eine Potentialfunction elektrischer Massen, so ist (R/g) (P eine Potentialfunction anderer elektrischer Massen, welche die Abbilder der vorigen in Bezug auf die Kugel sind.

Die neue Function (R/g) (D wird discontinuirlich 1) im Punkte g = 0, wenn nicht q% = F. = 0 ist; 2) in allen solchen Punkten, die die Abbilder discontinuirlicher Punkte von F sind. – Ebenso verhält es sich mit den ersten Differentialquotienten, denn es ist:

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Die Function F ist discontinuirlich in Punkten und Linien, welche elektrische Massen enthalten, ihr Differentialquotient ist discontinuirlich in Flächen, welche mit einer Schicht Elektricität bedeckt sind.

Ist also F die Potentialfunction von elektrischen Massen, die in begrenzten Räumen, in Flächen, Linien, Punkten verbreitet sind, so ist(Ä/ü) <l> die Potentialfuuction von elektrischen Massen, welche in den Abbildern dieser Räume, Flächen, Linien, Punkte verbreitet sind, und einer Masse im Punkte Q = 0.

Ist in einem Theile des Raumes oder auf einer Fläche F— 0, so ist in dem entsprechenden Abbilde dieses Raumes oder dieser Fläche <l> = 0. Wenn also die Vertheilung der Elektricität im Gleichgewichte auf einer Fläche gefunden ist, unter dem Einflüsse gewisser anderer Massen, so giebt uns unsere Transformation die Lösung eines anderen Problems für das elektrische Gleichgewicht auf dem Abbilde jener Fläche.

Die Vertheilung der Elektricität auf einer gewissen Fläche A kann gefunden werden für alle beliebig vertheilten elektrischen Massen, wenn die Vertheilung gefunden werden kann, welche unter dem Einflüsse eines jeden beliebig gelegenen elektrischen Massenpunktes das Potential F längs der Fläche A gleich Null macht. Dann ist Fm = 0.

Ist diese allgemeine Aufgabe gelöst für die Fläche A, so kann sie vermöge unseres Problems auch für die Abbilder der Fläche A in Bezug auf eine beliebig gelegene Kugel stets gelöst werden.

Ist die allgemeine Aufgabe nur gelöst für einen Punkt, der im inneren Räume der geschlossenen Fläche A liegt, so giebt die Transformation die Lösung für den äusseren Raum des Abbildes, falls der Mittelpunkt der Kugel, auf die sich die Abbildungen beziehen, in das Innere von A verlegt ist, und umgekehrt.

Die allgemeine Aufgabe der Vertheilung ist gelöst:

1) Für unbegrenzte Kugelflächen und Ebenen, diese geben bei der Transformation wieder unbegrenzte Kugelflächen und Ebenen, also nichts Neues.

2) Für Ellipsoide und andere Flächen zweiten Grades. Diese geben bei der Transformation eine besondere Art von Flächen vierten Grades, und zwar drei Systeme von solchen) welche zu einander orthogonal sind, wie die drei Systeme der Flächen zweiten Grades, welche die bekannten elliptischen Coordinaten bilden.

3) Für kreisförmig begrenzte Ebenen und Kugelstücke. 1» Die einen werden durch unsere Transformation in die anderen übergeführt.

4) Dem Vortragenden ist es gelungen, das Problem zu lösen für Kanten, in denen zwei unendliche Ebenen unter beliebigem Winkel zusammenstossen; diese geben bei der Transformation linsenförmige Körper, von zwei sich schneidenden Kugelflächen begrenzt.

5) Das Problem ist gelöst für den inneren Raum rechtwinkeliger Parallelepipeda, regelmässiger Tetraeder und Octaeder; diese verwandeln sich bei der Transformation in Räume, welche von sich schneidenden Kugelflächen begrenzt sind, und an denen es entweder für den inneren oder äusseren Raum gelöst werden kann.

Die wesentlichen Resultate dieses Aufsatzes waren schon 1845 durch Sir W. Thomson gefunden und in zwei Briefen an Herrn Lionville (S. dessen Journal de Math6matiques. 1845 und 1847) veröffentlicht. Ich habe dies bald nach Veröffentlichung des vorhergehenden Aufsatzes gefunden und in der zweiten oben citirten Stelle der Heidelberger Verhandlungen vom 30. Mai 1862 anerkannt

Zusatz (1881, noch nicht veröffentlicht).

Ich erlaube mir hier noch auf eine andere, sehr fruchtbare und bequeme Transformationsmethode aufmerksam zu machen, die ich in meinen Vorlesungen oft anzuwenden pflege.

Wenn tp eine Function von x, y, z ist, die mit Ausnahme gewisser Punkte oder Linien der Differentialgleichung:

identisch genügt, so wird derselben Differentialgleichung auch der reelle und imaginäre Theil einer anderen Function ^ genügen, die man aus y> erhält, indem man (| + ai) statt x setzt. Dabei ist:

d'V _diV

d$< ~ dx*"

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