Der bestleitende Draht von galvanoplastischem Kupfer ergiebt: x= 1 513 144. 1012 Secdn. In den Gleichungen (3b) sind U, V, W und zunächst als Integrale gegeben. Um die betreffenden Gleichungen in die Form von Differentialgleichungen zu bringen, brauchen wir nur die genannten vier Grössen als Unbekannte zu benutzen. Wir haben dabei zu unterscheiden: 1) Theile des Raumes, die wir mit S bezeichnen wollen, welche leitend sind, und auf deren Inneres keine anderen Kräfte wirken, als die elektrostatischen und inducirten elektro82 motorischen Kräfte. Innerhalb solcher Theile gelten die Gleichungen (3b), welche bei Berücksichtigung von (3) die Form annehmen: 2) In anderen Theilen des Raumes können wir die elektrischen Strömungen als vorgeschrieben betrachten. Dies wird zum Beispiel der Fall sein, wo elektrisch geladene Isolatoren bewegt werden, oder elektrische Ströme in Drähten unter Einfluss relativ grosser hydroelektrischer Kräfte circuliren. Auch wenn man Magnete durch ein System elektrischer Ströme ersetzt denkt, sind diese als unveränderlich vorgeschriebene Ströme zu betrachten. Diese Theile des Raumes mögen mit S1, die Werthe der Functionen U, V, W, etc. mit U1, V1, W1 4, etc. bezeichnet werden. In ihnen ist: 1 3) Im ganzen Raume S und S1 gilt die Gleichung (3a): Ux U — U1 = V — V1 = W' — W1 = p − q 1 = 0, (III) 5) In unendlicher Entfernung von den Leitern und bewegten Massen : U = V = I = q = 0. (V) Wenn aus diesen Gleichungen U, V, W und bestimmt sind, erhält man u, v, w durch die Gleichungen (3). Das System der Gleichungen (I) bis (V) vertritt vollständig die Bedingungen der Aufgabe, die ausgesprochen sind 83 durch die Gleichungen (1a), nebst den entsprechenden Gleichungen für und w, und durch (2), (2a), (3b). Da das System (I) bis (V) abgeleitet ist aus den Bedingungsgleichungen der Aufgabe, so fügt es keine neuen Bedingungen hinzu, die jene nicht enthalten. Umgekehrt ist nachzuweisen, dass, wenn das System (I) bis (V.) erfüllt ist, jene vier Bedingungsgleichungen der Aufgabe erfüllt sind. Zunächst ist ersichtlich, dass die Gleichungen (3b) unmittelbar aus (I) erhalten werden, wenn man 4U etc. durch die Geschwindigkeiten ausdrückt, wie in den u, v, w definirenden Gleichungen (3) vorgeschrieben ist. Die Gleichung (2) erhält man, wenn man die Gleichungen (II) und (IIa) der Operation 4 unterwirft, und die Werthe von 4 (dUda) etc. aus (3) bildet. Die Gleichung (2a), welche an Flächen 2 gilt, erhält man durch folgende Betrachtungen. Wenn eine Function ist, die auf beiden Seiten der Fläche 2 gleiche Werthe hat, aber dd N von dч1/dN verschieden ist, so ist, wie leicht zu sehen: wo a, b, c wie früher die Winkel sind, welche die Normale N mit den Coordinatenaxen macht. Da dU/dx, dU/dy, dUdz auf beiden Seiten der Fläche 2 nicht verschieden sind, so ist: und wenn man hierin für 4U, AU1 u. s. w. die Werthe setzt aus (3) und (Ia), so folgt die Gleichung (2a). Endlich ist noch zu erweisen, dass die Functionen U, V, W der Gleichungen (I) bis (V), wenn man vermöge der Gleichungen (3) die Geschwindigkeiten u, v, w einführt, gleich den in (1 a) und gemäss (1a) gebildeten Werthen dieser Grössen sind. Dies geht daraus hervor, dass eine Function, die überall endlich und stetig ist, deren Differentialquotienten ebenfalls überall endlich und stetig sind, und die in unendlicher Entfernung gleich Null ist, wie dies die Gleichungen (III), (IV), (V) von U, V, W aussagen, nach den bekannten Sätzen über Potentialfunctionen dargestellt werden kann in der Form: Setzt man nun statt 4U die in (3) und (Ia) gegebenen Werthe, so erhält man Gleichungen von der Form (1d), wo der Werth von dy/dx u. s. w. zunächst in der Form von (2e) gegeben ist. Die Transformationen aber des Werthes von welche uns von der Form (1c) zu (2e) geführt haben, und welche auf partiellen Integrationen beruhten, kann man alle rückwärts machen, und kommt so auf die Gleichungen (1d) und (1c), die nur eine andere Schreibweise von (1a) sind. Es ist in diesen Entwickelungen keine Rücksicht genommen auf das Vorkommen elektromotorischer (hydroëlektrischer oder thermoëlektrischer) Molecularprocesse. Haben diese constante Kraft, so geben sie einfach einen den übrigen Strömen superponirten constanten Strom. Haben sie aber inconstante Kraft, so lassen sich die Umformungen der Function nicht immer so ausführen, wie oben geschehen. Die in der Einleitung erwähnte Analogie zwischen den Bewegungen der Elektricität in einem Leiter und denen eines Gases zeigt sich in folgender Weise. Es sei p der Druck, die Dichtigkeit, u, v, w die Componenten der Strömungsgeschwindigkeit; letztere seien so klein, p und so wenig von den Werthen p。 und g。 in der ruhenden Flüssigkeit unterschieden, dass die Glieder zweiter Dimension der Grössen 85 (P-Po), (go) vernachlässigt werden können. Dann sind die Bewegungsgleichungen eines reibenden Gases, auf dessen Inneres keine äusseren Kräfte wirken: so erhalten wir die für das Innere eines Leiters von constantem Leitungsvermögen geltenden Bewegungsgleichungen der Elektricität. Dabei ergiebt sich: Dem kann ein Gas von stabilem Gleichgewicht nur entsprechen, wenn k positiv ist. Ist k = 0, wie in Herrn Maxwell's Annahme, so würde die Elektricität sich wie eine incompressible Flüssigkeit bewegen. Auch müssen die beiden Reibungscoëfficienten und positiven Werth haben, wenn die Vergleichung statthaft sein soll, was bei v nur der Fall ist, wenn 1 > k> 0 ist. Die Geschwindigkeiten der Flüssigkeit entsprechen aber hierbei, wie man sieht, nicht den Geschwindigkeiten der Elektricität, sondern den elektromotorischen Kräften. Die Geschwindigkeiten der Elektricität wären vielmehr den durch die Reibung hervorgebrachten Bewegungskräften proportional. Die Grenzbedingungen freilich sind abweichend; indessen giebt eine solche Vergleichung immerhin einen Anhalt für die Vorstellung. § 4. Eindeutigkeit der Lösungen und Stabilität des Gleichgewichts. Bezeichnen wir mit denjenigen Theil der Arbeit, welcher durch Abänderung der elektrischen Strömungen in den Leitern S 86 verändert wird, so besteht derselbe aus zwei Theilen P, welcher den elektrodynamischen, und P,, welcher den elektrostatischen Wirkungen entspricht. Die ganze Grösse dieser Arbeit ist: |
